ONNX 算子可微分标签简明指南

可微分标签

每个 ONNX 算子的模式（schema）都包含一个关于每个输入和输出的可微分标签。本文档将解释此标签的含义以及如何确保标签的正确性。简而言之，该标签标识了一个算子的可微分输入和可微分输出的集合。该标签的含义是：每个可微分输出的偏导数相对于每个可微分输出是存在的。

定义可微分标签的方式

算子的可微分定义包含几个方面。

  • 可微分输入，可以在 Gradient 的 xs 属性中引用。

  • 可微分输出，可以在 Gradient 的 y 属性中引用。

  • 计算雅可比矩阵（或张量）的数学方程。一个变量（输入或输出）是否可微分是通过数学来判断的。如果雅可比矩阵（或张量）存在，那么该算子就存在一些可微分的输入和输出。

实现自动微分有几种策略，如前向累积、后向累积和双变量法。由于大多数深度学习框架都基于后向传播，评审者应确保 PR 作者在标签方面提供足够详细的信息。下面我们将介绍两种验证 ONNX 算子可微分性的方法。

方法一：复用现有的深度学习框架

第一种方法是展示所考虑的算子在现有框架（如 Pytorch 或 Tensorflow）中的后向（backward）操作是否存在。在这种情况下，作者应提供一个可运行的 Python 脚本，该脚本计算所考虑算子的后向传播。作者还应指出如何将 Pytorch 或 Tensorflow 代码映射到 ONNX 格式（例如，作者可以调用 torch.onnx.export 来保存 ONNX 模型）。下面的脚本展示了使用 Pytorch 对 ONNX Reshape 进行可微分性验证。

import torch
import torch.nn as nn

# A single-operator model. It's literally a Pytorch Reshape.
# Note that Pytorch Reshape can be directly mapped to ONNX Reshape.
class MyModel(nn.Module):
  def __init__(self):
    super(MyModel, self).__init__()

  def forward(self, x):
    y = torch.reshape(x, (x.numel(),))
    y.retain_grad()
    return y

model = MyModel()

x = torch.tensor([[1., -1.], [1., 1.]], requires_grad=True)
y = model(x)
dy = torch.tensor([1., 2., 3., 4.])

torch.autograd.backward([y],
  grad_tensors=[dy],
  retain_graph=True,
  create_graph=True,
  grad_variables=None)

# This example shows the input and the output in Pytorch are differentiable.
# From the exported ONNX model below, we also see that "x" is the first input
# of ONNX Reshape and "y" the output of ONNX Reshape. Therefore, we can say
# the first input and the output of ONNX Reshape are differentiable.
print(x.grad)
print(y.grad)

with open('model.onnx', 'wb') as f:
  torch.onnx.export(model, x, f)

方法二：手动进行数学推导

第二种方法是通过至少两个数值示例，正式证明从输出到输入的雅可比矩阵（或张量）的存在性。在这种情况下，评审者应仔细审查数学推导，并确认数值结果的正确性。作者应提供足够的细节，以便任何 STEM 专业的毕业生都能轻松理解。

例如，为了展示 Add 算子的可微分性，作者可以首先写下其方程

C = A + B

为简单起见，假设 A 和 B 是相同形状的向量。

A = [a1, a2]^T
B = [b1, b2]^T
C = [c1, c2]^T

这里我们使用符号 ^T 来表示其附加矩阵或向量的转置。设 X = [a1, a2, b1, b2]^T 和 Y = [c1, c2]^T，并将 Add 视为一个将 X 映射到 Y 的函数。那么，该函数的雅可比矩阵是一个 4x2 的矩阵：

J = [[dc1/da1, dc2/da1],
     [dc1/da2, dc2/da2],
     [dc1/db1, dc2/db1],
     [dc1/db2, dc2/db2]]
  = [[1, 0],
     [0, 1],
     [1, 0],
     [0, 1]]

If

dL/dC = [dL/dc1, dL/dc2]^T,

则 dL/dA = [dL/da1, dL/da2]^T 和 dL/dB = [dL/db1, dL/db2]^T 可以从以下元素计算得出：

  [[dL/da1], [dL/da2], [dL/db1], [dL/db2]]
= J * dL/dC
= [[dL/dc1], [dL/dc2], [dL/dc1], [dL/dc2]]

其中 * 表示标准的矩阵乘法。如果 dL/dC = [0.2, 0.8]^T，那么 dL/dA = [0.2, 0.8]^T 和 dL/dB = [0.2, 0.8]^T。请注意，从 dL/dC 计算 dL/dA 和 dL/dB 的过程通常被称为算子的后向传播。我们可以看到，Add 算子的后向操作以 dL/dC 作为输入，并产生两个输出 dL/dA 和 dL/dB。因此，A、B 和 C 都是可微分的。通过将张量展平成一维向量，这个例子可以扩展到覆盖所有张量，前提是没有形状广播。如果发生广播，广播元素的梯度是其在 **非广播** 情况下的所有相关元素的梯度之和。让我们再次考虑上面的例子。如果 B = [b]^T 变成一个单元素向量，B 可能会被广播到 [b1, b2]^T，并且 dL/dB = [dL/ db]^T = [dL/db1 + dL/db2]^T。对于高维张量，这实际上是沿着所有扩展轴的 ReduceSum 操作。